题目

已知抛物线y^2=4x,求过抛物线的焦点,且弦长等于8的弦所在的直线方程

提问时间：2020-07-25

答案

y^2=2px,p=2,
焦点坐标为F（1,0）,
设直线方程为：y=k(x-1),
设弦与曲线相交于A、B二点,
A（x1,y1),B(x2,y2)
代入抛物线方程,
k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0,
根据韦达定理,
x1+x2=(2k^2+4)/k^2,
x1*x2=1,
根据弦长公式,|AB|=√（1+k^2)(x1-x2)^2
=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2)[(2k^2+4)^2/k^4-4]
=√[16(1+k^2)^2]
=4(1+k^2)
4(1+k^2)=8,
k^2=1,
k=±1,
直线方程为：y=±(x-1).