题目

抛物线y²=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，F为抛物线的焦点，并且|FA|=2，|FB|=5，在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．

提问时间：2020-07-25

答案

由已知得F（1，0），点A在x轴上方，
设A（x₁，y₁），y₁>0，
由|FA|=2，
得x₁+1=2，x₁=1，
所以A（1，2），
同理B（4，-4），
所以直线AB的方程为2x+y-4=0．
设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x₀，y₀），
且0≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
则点P到直线AB的距离d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y02 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0 +1)2- 9 2 |

5

，
所以当y₀=-1时，d取最大值

9 5

10

，
又|AB|=3

5

，
所以△PAB的面积最大值为S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=

27

4

．
此时P点坐标为（

1

4

，-1）．

由已知得F（1，0），点A在x轴上方，设A（x₁，y₁），y₁＞0，由|FA|=2得A（1，2），同理B（4，-4），所以直线AB的方程为2x+y-4=0．设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x₀，y₀），且0≤x₀≤4，-4≤y₀≤2，由点到直线距离公式能求出△PAB的面积最大值和此时P点坐标．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．