题目

已知：f（x）=-sin²x+sinx+a
（Ⅰ）当f（x）=0有实数解时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若x∈R恒有1≤f(x)≤

17

4

成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-07-25

答案

（1）因为f（x）=0，即a＝sin2x−sinx＝(sinx−

1

2

)2−

1

4

，a的最大值等于(−1−

1

2

)2 −

1

4

=2，
a的最小值等于-

1

4

，所以，a∈[−

1

4

，2]．
（2）f（x）=-sin²x+sinx+a=−(sinx−

1

2

)2+

1

4

+a，∴f(x)∈[−2+a，

1

4

+a]，
又∵1≤f(x)≤

17

4

恒成立，∴

1≤−2+a 1 4 +a≤ 17 4

，∴3≤a≤4．
所以，实数a的取值范围是[3，4]．

（1） 利用二次函数的性质及正弦函数的值域求出a的最大值和a的最小值，即得实数a的取值范围．
（2）f（x）配方后结合正弦函数的值域，求出f(x)∈[−2+a，

1

4

+a]，再根据1≤f(x)≤

17

4

恒成立，
得到

1≤−2+a 1 4 +a≤ 17 4

，从而得到实数a的取值范围．

本题考点：三角函数的最值；函数恒成立问题；函数与方程的综合运用．

考点点评：本题考查三角函数的最值，函数的恒成立问题，以及正弦函数的有界性，得到

1≤−2+a 1 4 +a≤ 17 4

 是解题的难点．