题目

已知函数f（x）=sinx+sin（x+

π

2

），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和最小值；
（3）若f（α）=

3

4

，求sin 2α的值．

提问时间：2020-07-25

答案

（1）∵f(x)=sinx+sin(

π

2

+x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∴函数f（x）=sin x+sin（x+

π

2

）的最小正周期是2π．
（2）∵x∈R，-1≤sinx≤1
（2）f(x)=sinx+sin(

π

2

+x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)
∴f（x）的最大值为

2

，最小值为-

2

…（8分）
（3）∵f（α）=sinα+sin（α+

π

2

）=sinα+cosα=

3

4

∴（sinα+cosα）²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+sin2α=

9

16

∴sin2α=

9

16

-1=-

7

16

（1）根据诱导公式可求出函数的解析式，推断f（x）的最小正周期是2π
（2）依上问f（x）=2sinx，根据正弦函数的性质推断f（x）的最大值是2，最小值是-2．
（3）把α代入函数式，两边平方可得答案．

本题考点：运用诱导公式化简求值；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题主要考查三角函数中诱导公式的使用．做题时注意灵活运用和差化积、倍角公式等公式．