题目

给定两组数:A组的数为前一百个正整数:1,2,…,100;B组中的数为前一百个正整数的平方:1,4,…,10000
对于A组中的数x,若有B组中的数y,使x+y也是B组中的数,则称为关联数;A组中这样的关联数有多少个?

提问时间：2020-07-25

答案

意即求可以表示为两个平方数差的数有多少个.
x=a²-b²=（a+b）（a-b）
两数和与差同奇偶,因此所求数要么是奇数,要么是4的倍数.
如果是4的倍数：x=4n
x=2*2n=（n+1）²-（n-1）²
由于x在100以内,因此n在25以内,因此n≠1时,（n+1）²和（n-1）²一定在B组中.
n=1时,x=4,不能找到拆成两个不等同奇偶的乘积的方法,因此不是关联数
这一类的关联数从n=2到n=25,有24个
如果所求数是奇数：
x=1*x=[(x+1)/2]²-[(x-1)/2]²
x≠1时,(x+1)/2和(x-1)/2均是1-100以内的数,满足条件
易知1不是关联数
这一类关联数共有49个
因此一共有24+49=73个关联数