题目

椭圆方程为x^/2+y^=1,l=2,设O为坐标原点,M是l上的点,F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P,Q
(1)若PQ=√6,求圆D的方程
（2）若M是l上的动点,求证点P在定圆上,并求出定圆的方程

提问时间：2020-07-25

答案

(1)
∵D是OM中点,∴D的横坐标是1
设垂足为E,圆心D(1,t)
根据垂径定理,有：|PE|=√6/2
∵K(OD)=t,OD⊥FP
∴K(OD)·K(FP)=-1,即K(FP)= - 1/t
∴由F(1,0)得FP：y=-(x-1)/t,即x+ty-1=0
∴D到直线FP的距离|DE|=|1+t²-1|/√(t²+1) = t²/√(t²+1)
∵|DE|²+|PE|²=R²=|OD|²
即：t^4/(t²+1) + (√6/2)² = t² + 1
∴t = ± 1 ,R=|OD|=√2
∴圆D：(x-1)² + (y±1)² = 2
(2)
设P(a,b),F(1,0)
∴K(FP)=b/(a-1),K(OP)=b/a
∵FP⊥OM,即：K(OM)·K(FP)=-1
∴K(OM)= -(a-1)/b
∴OM：y = -(a-1)x/b
∵M横坐标为2,代入得：M(2,-2(a-1)/b)
∴K(MP)=[b + 2(a-1)/b]/(a-2) = (b²+2a-2)/[b(a-2)]
∵OM为直径
∴OP⊥MP,即K(OP)·K(MP)=-1
∴(b/a)·(b²+2a-2)/[b(a-2)] = -1
化简,得a²+b²=2
∴|OP|=√(a²+b²)=√2为定值
∴P在以O为圆心的定圆x²+y²=2上.