题目

设f(x)的定义域为D ,证明必存在D上的偶函数g(x)及奇函数h(x)使得,f(x)=g(x)+h(x).求证
那为什么对称区间一定有这两个奇偶函数呢？怎么证明。

提问时间：2020-07-25

答案

证明：这样的g(x)与h(x)可以构造出来
因为f(x)=g(x)+h(x)
那么f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)
所以g(x)=[f(x)+f(-x)]/2,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
显然g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,符合,命题得证.