题目

设E是R2中的点集,且E中任意两点间的距离都是有理数,则E是可数集,怎么证?
是实变函数的习题,小妹在此写过啦~

提问时间：2020-07-25

答案

任取p∈E,令S(p)={d(p,q)|q∈E},则S(p)是有理数的子集,S(p)可数（或者有限）.
任意s∈S(p),令E(s) = { q∈E | d(p,q)=s }是E中所有到p距离为s的点.
则E(s)中的点都在一个以p为圆心,半径为s的圆C(p,s)上.只要说明E(s)中的点
可数,则因为可数*可数仍然可数,E就可数.
对E(s)作同样的处理,即任取x∈E(s),令S(x,s)={d(x,q)|q∈E(s)},S(x,s)可数或有限,
任意t∈S(x,s),令E(t,s)={ q∈E(s)|d(x,q}=t },则E(t,s)包含于C(x,t),但是
圆C(x,t)和圆E(s)的交只有最多两个点,即E(t,s)有限.所以E(s)可数.