题目

已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在X轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1,求椭圆C的标准方程；
若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A.B两点（A.B不是左右顶点）,且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证：直线L过定点,并求出该定点的坐标.
第一问我会做。重点是第二问。而且你第一问都做错啦。

提问时间：2020-07-24

答案

a=2,c=1,b=√3
y=kx+m代入椭圆方程,得（4k^2+3)x^2+8kmx+(4m^2-12)=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=-8km/(4k^2+3).(1)
x1x2=(4m^2-12）/（4k^2+3).(2)
由向量AC*BC=0,得,（x1-2)(x2-2)+y1y2=0即（k^2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+(4+m^2)=0.（3）
(1),(2)代入（3）,得(4m^2-12)(k^2+1)+(km-2)(-8km)+(m^2+4)(4k^2+3)=0
即7m^2+16km+4k^2=0,m=-2k或m=-2/7k
当m=-2k时,y=k(x-2),过定点（2,0）
当m=-2/7k时,y=k(x-2/7),过定点（2/7,0）