题目

数列{a_n}中，S₁=1，S₂=2，S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n≥2），求数列的通项a_n以及数列前n项和S_n．

提问时间：2020-07-24

答案

∵数列{a_n}中，S₁=1，S₂=2，S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n≥2），
∴a₁=1，a₂=1，且 S_n+1-S_n-2S_n+2S_n-1=0（n∈N^*且n≥2），
即（S_n+1-S_n）-2（S_n-S_n-1）=0（n∈N^*且n≥2），
∴a_n+1=2a_n（n∈N^*且n≥2），故数列{a_n}从第2项起是以2为公比的等比数列．
数列{a_n}的通项公式为  a_n=

1 ，   n＝1 2n−2 ，  n≥2

．
当n=1时，S_n =1．当n≥2时，S_n =1+

1×(1−2n−1)

1−2

=2^n-1．
综上可得 S_n =2^n-1．

求的是数列的通项公式条件是数列{a_n}的前n项和为S_n，由所以由两者间的关系求解，要注意分类讨论．

本题考点：数列递推式；数列的求和．

考点点评：本题主要考查利用数列的递推关系求数列的通项公式体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．