题目

5个连续自然数的乘积能被120整除(如何证明)

提问时间：2020-07-24

答案

连续的5个自然数里面里面必然有一个是i的倍数 i=1,2,3,4,5
如果一定要用数学归纳法 可以这样
证明：首先5个连续的自然数是n n+1 n+2 n+3 n+4
1>当n=1时,1*2*3*4*5=120能被120整除
2>假设n=k时结论成立 即120/k*（k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)
当n=k+1时,即（k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)*（k+5）
则（k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)*（k+5）-k*（k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)
=5*（k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)
这里证明连续4个自然数乘积是24的倍数,
同里又要证明3个自然数是6的倍数,
依次又要证明2个连续自然数是2的倍数,
显然2个连续自然数是2的倍数,
即反推回去,得证.