题目

黄金分割三角形的定义和证明

提问时间：2020-07-24

答案

黄金分割又称黄金律,是指事物各部分间一定的数学比例关系,即将整体一分为二,较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比,其比值为1∶0.618或1.618∶1,即长段为全段的0.618.0.618被公认为最具有审美意义的比例数字.上述比例是最能引起人的美感的比例,因此被称为黄金分割.





黄金分割三角形
　　正五边形对角线连满后出现的所有三角形,都是黄金分割三角形. 　　黄金分割三角形有一个特殊性,所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形,但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形.由于五角星的顶角是36度,这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18




如图所示：
证明：∵BD=1/2AB,∴AB=2BD,令BD=1, 
则AB=2,由勾股定理（毕达哥拉斯定理）知：
AD^2=AB^2+BD^2
=2^2+1^2=5,∴AD=√5,∵BD=DE=1,AC=AE,
∴AC=AD-DE=√5-1,∵AC=√5-1,AB=2
∴AC：AB=(√5-1)/2.