题目

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-07-24

答案

（1）∵f（x）=lnx-ax（x＞0），
∴f′(x)=

1

x

-a(x＞0)，
当a≤0时，f′（x）＞0（2分），
当a＞0时，由f′(x)=0得x=

1

a

＞0
当x变化时，f'（x），f（x）随x变化情况如下表：
综上可知：当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞），
当a＞0时，f（x）的增区间为(0，

1

a

)，减区间为(

1

a

，+∞)，
（2）若函数f（x）≤1恒成立，只需f（x）_max≤1，
当a≤0时，f（x）的值趋向于无穷大，不成立，
当a＞0时，由（1）知，f（x）有唯一的极大值且为最大值，
∴f（

1

a

）=ln

1

a

-a

1

a

=-lna-1≤1，
∴lna≥-2，
∴a≥e^-2，
即函数f（x）≤1恒成立时，a的取值范围为[e^-2，+∞）．

（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，
（2）根据函数的导数与最值的关系确定实数a的取值范围．

本题考点：A:利用导数研究函数的单调性 B:利用导数求闭区间上函数的最值

考点点评：掌握导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．