题目

如果一个数可以表示成X2+2xy+2y2的形式[x、y均为整数],则称这个数是好数
求证：如果M、N均为好数,那么MN也是好数.

提问时间：2020-07-24

答案

证明：设m=x^2+2xy+y^2,n=p^2+2pq+q^2.
则
mn=(x^2+2xy+y^2)(p^2+2pq+q^2)
=[(x+y)^2+y^2][(p+q)^2+q^2]
=[(x+y)(p+q)+qy]^2+[q(x+y)-y(p+q)]^2
令
u+v=(x+y)(p+q)+qy,v=q(x+y)-y(p+q).
那么
mn=(u+v)^2+v^2=u^2+2uv+2v^2.
因为x,y,p,q均为整数,所以(x+y)(p+q)+qy,q(x+y)-y(p+q)也为整数,所以u+v,v为整数,所以u,v为整数.
因此mn为“好数”.
注:以上解答的关键在于：
（1）看出“好数”就是两个整数的平方和.
（2）恒等式(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2.
加油!