题目

如图，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时水所形成的圆锥的高恰为

a

2

，求原来水面的高度．

提问时间：2020-07-24

答案

令圆锥倒置时水的体积为V′，圆锥体积为V，
则

V‘

V

=（

a

2

）³÷a³=

1

8

∴

V空

V锥

=

7

8

，
倒置后：V_水=

1

8

V，
设此时水高为h，则
h³：a³=

7

8

，
∴h=（1-

3 7

2

）a．
故原来水面的高度为（1-

3 7

2

）a．

圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：此题若用V_水=V_台计算是比较麻烦的，因为台体的上底面半径还需用h₁=

1

3

h导出来，我们用V_水=V_锥-V_空，而V_空与V_锥的体积之间有比例关系，可以直接求出．