题目

足球的表面有几个正五边形?几个正六边形?怎么算出来的?

提问时间：2020-07-24

答案

【答】足球表面有黑皮子(五边形)12块；白皮子(六边形)20块
【计算过程】
足球是多面体,满足欧拉公式F－E＋V＝2(证明过程见参考资料),其中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数
设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个,那么
面数F＝x＋y
棱数E＝(5x+6y)/2（每条棱由一块黑皮子和一块白皮子共用）
顶点数V＝(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）
由欧拉公式,x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2,解得x＝12
所以共有12块黑皮子
所以,黑皮子一共有12×5＝60条棱,这60条棱都是与白皮子缝合在一起的
对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中,有3条边与黑色皮子的边缝在一起,另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起,所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的
那么白皮子就应该一共有60×2＝120条边,120÷6＝20
所以共有20块白皮子