题目

证明：f（x，y）=

|xy|

在点（0，0）处连续，f_x（0，0）与f_y（0，0）存在，在（0，0）处不可微．

提问时间：2020-07-24

答案

证明：∵

lim

(x，y)→(0，0)

f(x，y)=0=f(0，0)
∴f(x，y)=

|xy|

在（0，0）连续
∵fx(0，0)=

lim

x→0

f(x，0)-f(0，0)

x

=0，fy(0，0)=

lim

y→0

f(0，y)-f(0，0)

y

=0
∴f(x，y)=

|xy|

在（0，0）的两个一阶偏导数存在．
∵△f（0，0）=f（△x，△y）-f（0，0）=

|△x•△y|

∴△f(0，0)-fx(0，0)△x-fy(0，0)△y=

|△x•△y|

∴

△f(0，0)

ρ

=

|△x•△y|

(△x)2+(△y)2

若令△x=rcosθ，△y=rsinθ，则有

△f(0，0)

ρ

=

r2|sinθ•cosθ|

r

=r|sinθ•cosθ|
∴

lim

ρ→0

△f(0，0)

ρ

=

lim

r→0

r|sinθ•cosθ|=0
∴f(x，y)=

|xy|

在（0，0）处可微．

根据二元函数的极限和连续的定义，证明在点（0，0）处连续；根据偏导数的定义和二元函数的极限，求出f_x（0，0）与f_y（0，0）；根据二元函数的微分定义，证明在（0，0）处可微．

本题考点：多元函数连续、可导、可微的关系．

考点点评：此题考查二元函数的极限、二元函数的偏导数和二元函数全微分的定义，是基础题型．