题目

球一道数学题
已知：△ABC,作三条内角平分线AD,BE,CF,与三条边BC,AC,AB分别交与E,D,F,求证：S△DEF：S△ABC=2abc：（a+b）（b+c）（c+a）
abc分别是BC,AC,AB

提问时间：2020-07-24

答案

同理：AF/BF=AC/BC=b/a,
由合分比定理：AF/(AF+BF)=b/(b+a),即AF/AB=b/(b+a),
于是BF/AB=a/(b+a),
（BF/AB=(AB-AF)/AB=1-AF/AB=1-b/(b+a)=a/(b+a)）
同理BD/BC=c/(b+c),
记S0=S△ABC,
S△ABD/S△ABC=BD/BC=c/(b+c),
即 S△ABD/S△ABC=c/(b+c),…………③
S△BDF/S△ABD=BF/BA=a/(b+a),
即 S△BDF/S△ABD=a/(b+a),…………④
③、④两式相乘,S△BDF/S△ABC=ac/(b+c)(b+a),
S△BDF=S△ABC*ac/(b+c)(b+a),
即 S△BDF=S0*ac/(b+c)(b+a),
同理：
S△AEF=S0*bc/(a+c)(b+a),
S△CDE=S0*ab/(b+c)(c+a),
于是：
S△DEF=S△ABC-S△FBD-S△AEF-S△CDE
=S0*[1-ac/(b+c)(b+a)-bc/(a+c)(b+a)-ab/(b+c)(c+a)]
=S0*[(b+a)(b+c)(c+a)-ac(c+a)-bc(b+c)-ab(b+a)]/(b+a)(b+c)(c+a)
=S0*2abc/(b+a)(b+c)(c+a),
故
S△DEF/S△ABC=S△DEF/S0=2abc/(b+a)(b+c)(c+a).
这一证法思路很简单,但计算稍微多了一点.