题目

已知动点P与双曲线x^2/2-y^2/3=1的两个焦点F1F2的距离之和为定值,且cos∠F1PF2的最小值为-1/9
（1）求动点P的轨迹方程
（2）若已知点D（0,3）,点M,N在动点P的轨迹上,且向量DM=λ向量DN,求实数λ的取值范围

提问时间：2020-07-24

答案

（1）F1(-√5,0),F2(√5,0),易知点P的轨迹是一个以F1F2为焦点的椭圆,
有个知识点要知道,椭圆上的点,张角(∠F1PF2)最大处为短轴顶点,
设点P在上顶点B处,则B(0,b),cos∠F1BO=b/a
因为∠F1BF2=2∠F1BO,且cos∠F1BF2=-1/9,所以由倍角公式可得cos∠F1BO=2/3
即b/a=2/3,又因为c^2=a^2-b^2,c=√5,
联列方程组可得：a^2=9,b^2=4,
所以轨迹方程为：x^2/9+y^2/4=1
（2）向量DM=λ向量DN,即D,M,N三点共线；
设三点所在直线为L,
①当L斜率不存在时,易得：M(0,2),N(0,-2),则λ=1/5；
或：M(0,-2),N(0,2),则λ=5；
②当L斜率存在时,则设L：y=kx+3,M(x1,y1),N(x2,y2)
向量DM=(x1,y1-3),向量DN=(x2,y2-3)
因为向量DM=λ向量DN,所以得：x1=λx2,即x1/x2=λ；
直线L：y=kx+3,与椭圆：x^2/9+y^2/4=1联列方程组,消去y,
得：(4/9+k^2)x^2+6kx+5=0；
首先要有两个交点,所以△=b^2-4ac>0,可得：k√5/3；
然后,由韦达定理可推得：x1/x2+x2/x1=b^2/ac-2=324k^2/(45k^2+20)-2
即λ+1/λ=324k^2/(45k^2+20)-2
下面是综合计算能力的体现,对324k^2/(45k^2+20)上下同除k^2得：324/(45+20/k^2)
即λ+1/λ=324/(45+20/k^2)-2
由观察法可得324/(45+20/k^2)是关于k^2递增的；
因为k√5/3,所以k^2>5/9,所以324/(45+20/k^2)>4；
所以λ+1/λ=324/(45+20/k^2)-2>2,则λ>0
整理得：λ^2-2λ+1>0
即：(λ-1)^2>0
所以：λ>0且λ≠1
综上,实数λ的取值范围是：λ>0且λ≠1
如果不懂,请Hi我,