题目

已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）求f（x）在[-1，1]上的解析式．

提问时间：2020-07-24

答案

（1）∵f（x）是周期为2的奇函数，
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1），
∴f（1）=0，f（-1）=0．…（4分）
（2）由题意知，f（0）=0．
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
由f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

，
综上，f（x）=

2x 4x+1 ，x∈(0，1) - 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 0，x∈{-1，0，1}

…（12分）

（1）由已知中在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，可得f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1），进而求出f（1）和f（-1）的值；
（2）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．由f（x）是奇函数，可得f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

，结合已知及（1）中结论，可得答案．

本题考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性．

考点点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数求值及函数解析式的求法，是函数的简单综合应用，难度中档．