题目

如图，直线y=kx分抛物线y=x-x²与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．

提问时间：2020-07-24

答案

由

y=kx y=x-x 2

得

x=1-k y=k-k 2

（0<k<1）．
由题设得_∫0^1-k[（x-x²）-kx]dx=

1

2

∫₀¹（x-x²）dx即_∫0^1-k[（x-x²）-kx]dx=

1

2

（

1

2

x 2-

1

3

x3）|₀¹=

1

12

∴（1-k）³=

1

2

∴k=1-

3 4

2

∴直线方程为y=（1-

3 4

2

）x．
故k的值为：k=1-

3 4

2

．

先由

y＝kx y＝x−x 2

得

x＝1−k y＝k−k 2

，根据直线y=kx分抛物线y=x-x²与x轴所围成图形为面积相等的两个部分得_∫0^1-k[（x-x²）-kx]dx=

1

2

∫₀¹（x-x²）dx下面利用定积分的计算公式即可求得k值．

本题考点：定积分在求面积中的应用．

考点点评：研究平面图形的面积的一般步骤是：（1）画草图；（2）解方程组，求出交点坐标；（3）确定被积函数及上、下限；（4）进行计算．