题目

已知定义域为R的函数f(x)=b-2^x/a+2^x是奇函数,
(1))求a,b值
(2)证明函数f(x)在R上是减函数
(3)解关于x的不等式:f(2^x-1)+f(2^x+1/2)

提问时间：2020-07-24

答案

(1)f(x)=(b-2^x)/(a+2^x)是R上奇函数
f(0)=(b-1)/(a+1)=0
b=1
f(x)=(1-2^x)/(a+2^x)
f(-x)=(1-2^(-x))/(a+2^(-x))
=(2^x-1)/(a*2^x+1)
f(x)=-f(-x)
(1-2^x)/(a+2^x)=-(2^x-1)/(a*2^x+1)
a+2^x= a*2^x+1,
(a-1)(1-2^x)=0,a=1.
(2)将f(x)变形,可以得到f（x)= (-1-2^x+2)/(1+2^x)=-1+2/(2^x+1)
任意的实数x10
所以f(x1）>f(x2)
因此f（x）在R上是减函数
(3) f(2^x-1)+f(2^x+1/2)1/4,x>-2.