题目

已知函数f(x)＝

1

a

−

1

x

(a＞0)
（1）证明f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）若f（x）的定义域、值域都是[

1

2

，2]，求实数a的值；

提问时间：2020-07-24

答案

（1）∵f(x)＝

1

a

−

1

x

(a＞0)∴f'（x）=

1

x2

，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
（2）∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增∴函数f（x）在[

1

2

，2]是单调递增，
当x=

1

2

时，f（

1

2

）=

1

a

-2=

1

2

∴a＝

2

5

（1）对函数f（x）求导，根据导数大于0即可得证．
（2）由（1）可判断函数f（x）在[

1

2

，2]上是增的，即可得到f（

1

2

）=

1

a

-2=

1

2

，从而得到答案．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属基础题．