题目

已知y=（根号x^2+4）+（根号（8—x）^2+16）,求y的最小值 用勾股定理证

提问时间：2020-07-24

答案

方法一：
作Rt△ABC,使AB⊥BC,且AB＝2、BC＝x.
则由勾股定理,有：AC＝√（BC^2＋AB^2）＝√（x^2＋4）.
延长BA至D,使AD＝4,过D作DE⊥AD,使C、E在BD的两侧且DE＝8－x.
则由勾股定理,有：AE＝√（DE^2＋AD^2）＝√［（8－x）^2＋16］.
∵AC＝√（x^2＋4）、AE＝√［（8－x）^2＋16］,∴y＝AC＋AE.
很明显,AC＋AE≧CE,∴当C、A、E三点共线时,y有最小值＝CE.
过E作EF⊥CB交CB的延长线于F.
∵BD⊥DE、BD⊥BF、EF⊥BF,∴BDEF是矩形,∴BF＝DE＝8－x、EF＝BD＝AB＋AD＝6,
∴CF＝BF＋BC＝8.
由勾股定理,有：CE＝√（EF^2＋CF^2）＝√（36＋64）＝√80＝4√5.
于是,y的最小值为 4√5.
方法二：
引入复数z1＝x＋2i、z2＝（8－x）＋4i.则：
y＝｜z1｜＋｜z2｜≧｜z1＋z2｜＝｜x＋2i＋（8－x）＋4i｜＝｜8＋6i｜＝√（64＋36）＝4√5.
∴y的最小值为 4√5.