题目

椭圆焦点弦问题
椭圆x^2/25+y^2/16=1,过P(3,0)的直线交椭圆于A,B,直线x=25/3与x轴交于C,比较角ACP和角BCP的大小,并证明.

提问时间：2020-07-24

答案

当直线 AB 与 x 轴不重合时,设 AB 的方程为 x=my+3 ,
代入椭圆方程得 (my+3)^2/25+y^2/16=1 ,
化简得 (16m^2+25)y^2+96my-256=0 ,
设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 y1+y2= -96m/(16m^2+25) ,y1*y2= -256/(16m^2+25) ,
因为 kAC=y1/(x1-25/3) ,kBC=y2/(x2-25/3) ,
所以 kAC+kBC=y1/(x1-25/3)+y2/(x2-25/3)
=[y1*(x2-25/3)+y2*(x1-25/3)]/[(x1-25/3)(x2-25/3)]
=[y1*(my2+3-25/3)+y2*(my1+3-25/3)]/[(x1-25/3)(x2-25/3)]
=[2my1*y2-16/3*(y1+y2)]/[(x1-25/3)(x2-25/3)]
=[-512m/(16m^2+25)+512m/(16m^2+25)]/[(x1-25/3)(x2-25/3)]
=0
因此直线 AC、BC 的倾斜角互补 ,那么 ∠ACP=∠BCP .