题目

已知函数f（x）的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f(x)小于0.
求证：（1）函数f(x)是奇函数；
（2）函数f(x)在R上是减函数.

提问时间：2020-07-24

答案

（1）令X=Y=0 则f(0)=f(0)+f(0) 得f(0)=0
令Y=-X 则f(0)=f(X)+f(-X)=0
即f(x)=-f(-x)
又定义域为 符合条件 故该函数为奇函数
（2）令X1＞X2 则f(X1)－f(X2)=f(X1)+f(-X2)=f(X1－X2)
∵X1＞X2 故X1－X2＞0
由题意 X＞0时 f(x)＜0
∴f(X1)－f(X2)=f(X1－X2)＜0
所以该函数为减函数