题目

已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（0）=0；
（2）试证明f（x）是奇函数，试举出两个这样的函数；
（3）若当x≥0时，f（x）＜0，
1）试判断函数f（x）在R上的单调性，并证明之；
2）判断函数|f（x）|=a．所有可能的解的个数，并求出对应的a的范围．

提问时间：2020-07-24

答案

（1）令x=y=0．则f（0）=f（0）+f（0）所以f（0）=0
（2）令y=-x，则f（0）=f（-x）+f（x）
即f（-x）=-f（x）
故f（x）为奇函数；
例如：y=-2x，y=3x；
（3）1）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，故 f（x₂-x₁）＜0
又有题设知 f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0
则该函数f（x₂）＜f（x₁）
所以该函数f（x）为（-∞，+∞）单调减函数
   2）由题设当x≥0时，f（x）＜0，结合上证函数是奇函数可得x＜0时，f（x）＞0
又由1）知函数f（x）为（-∞，+∞）单调减函数故知函数|f（x）|在（-∞，0]上减，在[0，+∞）上增且f（0）=0
故有：
当a＞0时，有两解；
当a=0时，有一解；
当a＜0时，无解；