题目

弹簧的弹性势能表达式怎样推导
弹簧的弹性势能表达式E=(1/2)*kx^2怎样推导?
那为什么说图像的面积就是弹簧弹性势能呢？

提问时间：2020-07-24

答案

设想在重力作用下,一个物体缓慢从地面升至高度h处.
在有限高度内,重力可视为恒量mg.不随高度的变化而变化.
因此 重力对物体所做的功为 -mgh.（重力与位移方向相反,所以功为负）
重力属于保守力,保守力所做的功 + 保守力势能 = 常量.
因此,重力势能的表达式为 mgh.（以地面为势能零点）
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而对一个弹性系统,弹性恢复力 F = - kx.
（k为弹性恢复系数,x表示离开平衡位置的距离）.
与重力不同,弹性恢复力不是常量,随着位移x的变化而变化.
因此 这个题目需要微积分知识的基础.
距离平衡位置为x时,恢复力为 F = -kx,负号表示恢复力的方向是指向平衡位置.其中k为弹性恢复系数.
从平衡位置 到达x位置,恢复力所做的功为 恢复力与位移乘积 从0到x 的定积分.即
W = ∫F*dx = ∫-kx * dx = -kx^2/2 （从0到x）= - kx^2/2 - 0 = - kx^/2
恢复力属于弹性系统的内力,和重力一样,也属于保守力.
保守力所做的功 = 保守势能变化的负值
以平衡位置为势能零参考点.因此
弹性势能 E = -W = kx^2/2
做 F---x 关系曲线.从这条直线的 起点和终点 分别向x轴做垂线.
那么由 这两条垂线、x轴、F--x曲线 围成了一个闭合图形.
这个图形的面积 就是 力F所做的功 W.
上面讲的这段 在中学 接触过没?如果没有的话,那就直接承认.对于知识储备不足而尚不能证明的理论,先暂且直接承认,这也是常用的学习方法.
对于本题目,
以 弹性力 F = -kx 作为y轴,
以 伸缩量 x 作为 x轴
F--x“曲线”是通过坐标原点的一条直线.
经从该直线的起点和终点向x轴做投影后,得到第四象限的一个三角形.
三角形的面积为
S = 底*高/2 = (x-0)*kx/2 = kx^2/2
由于力的方向与位移方向相反（同时也因为是在x轴下方）,所以 F所做的功是面积的负值,即
W = -S = -kx^2/2
而弹性势能为
E = -W = kx^2/2
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为什么说图像的面积就是弹簧弹性势能呢?
弹性势能的公式是中学阶段一个非常“基本”的物理公式,但在教科书上却见不到其推导过程.原因就在于其推导过程超出了中学生的知识范围.
求知欲强的学生 总是希望能知道其推导过程.但是把推导过程给出后,因为知识基础不够用,所以看不懂,会产生各种疑问.当这些疑问解决不了的时候,希望不要心急,因为你的知识储备不足.
简单回答你的疑问.
因变量F作为自变量x的函数,该曲线下的面积 就是 F所做的功.这是一个数学结论.
你可以设想,假设 F 是一个常量.那么经过位移 x-x0后,F所做的功就是 F*(x-x0).现在把这个结论数学化!依然做 F-x函数图象.那么图象是一条与 x 轴平行的直线.该直线距离x轴的距离就是F.因此 功 F(x-x0) 就在该函数图象上对应着 一个矩形的面积,而该矩形由从F直线的起点和终点向x轴做投影而形成.
上一段讨论中 F 是一个常量.F所做的功的表达式也因此很简单.而当 函数图象不在是与x轴平行时,F所做的功就等于 F关于x的积分.而“积分”这个数学概念在中学阶段还没有接触,所以你会很难理解.而在数学上,“积分”的结果依然是函数曲线向x轴做投影后所围成的图形的面积.