题目

已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线．
求证：BC=AB+AD．

提问时间：2020-07-24

答案

过D作DE⊥BC，交BC于点E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD是∠ABC的平分线，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DA=DE，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，

BD＝BD DA＝DE

，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB=BE，
又∵∠A=90°，且AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°，又∠DEC=90°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DE=EC，
∴AD=EC，
则BC=BE+EC=AB+AD．

过D作DE垂直于BC，由DA垂直于AB，且BD为角平分线，利用角平分线性质得出DA=DE，再由斜边BD为公共边，利用HL得出直角三角形ABD与直角三角形BED全等，由全等三角形的对应边相等得出AB=BE，由AB=AC，且BA与AC垂直得到三角形ABC为等腰直角三角形，可得出三角形DEC为等腰直角三角形，得出DE=EC，而BC=EB+EC，等量代换即可得证．

本题考点：角平分线的性质；等腰直角三角形．

考点点评：此题考查了角平分线性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．