题目

如图,圆O的半径为1,等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为(根号2,0),角CAB=90度,AC=AB,顶点A在圆O上运动.
（1）当点A在X轴上时,求点C的坐标；
（2）当点A运动到X轴的负半轴上时,试判断直线BC与圆O的位置关系,并说明理由；
（3）设点A的横坐标为X,三角形ABC的面积为S,求S与X之间的函数关系式,并求出S的最大值与最小值；
（4）当直线AB与圆O相切时,求AB所在直线对应的函数关系式.

提问时间：2020-07-24

答案

分析：（1）中有两种情况,即A点坐标为（1,0）或（-1,0）,根据AB=AC,求出C点坐标．
（2）根据题意过点O作OM⊥BC于点M,求出OM的长,与半径比较得出位置关系．
（3）过点A作AE⊥OB于点E,在Rt△OAE中求AE的长,然后再在Rt△BAE中求出AB的长,进而求出面积的表达式,根据定义域确定最大最小值．
（4）相切时有两种情况,在第一象限或者第四象限,连接OA,并过点A作AE⊥OB于点E,在Rt△OAE中求出OE,然后就能求出A点坐标,AB所在直线对应的函数关系式很容易就能求出．
（1）当点A的坐标为（1,0）时,AB=AC= 2-1,点C的坐标为（1,2-1）；
当点A的坐标为（-1,0）时,AB=AC= 2+1,点C的坐标为（-1,2+1）；
（2）直线BC与⊙O相切
过点O作OM⊥BC于点M,
∴∠OBM=∠BOM=45°,
∴OM=OB•sin45°=1
∴直线BC与⊙O相切；
（3）过点A作AE⊥OB于点E
在Rt△OAE中,AE2=OA2-OE2=1-x2,
在Rt△BAE中,AB2=AE2+BE2=（1-x2）+（ 2-x）2=3-2 2x
∴S= 12AB•AC= 12AB2= 12（3-2 2x）= 32-2x
其中-1≤x≤1,
当x=-1时,S的最大值为 32+2,
当x=1时,S的最小值为 32-2．
（4）①当点A位于第一象限时（如右图）：
连接OA,并过点A作AE⊥OB于点E
∵直线AB与⊙O相切,∴∠OAB=90°,
又∵∠CAB=90°,
∴∠CAB+∠OAB=180°,
∴点O、A、C在同一条直线上
∴∠AOB=∠C=45°,
在Rt△OAE中,OE=AE= 22,
点A的坐标为（ 22,22）
过A、B两点的直线为y=-x+ 2．
②当点A位于第四象限时（如右图）：
点A的坐标为（ 22,- 22）
∵B的坐标为（ 2,0）
∴过A、B两点的直线为y=x- 2．
本题是一次函数与圆、三角形结合的题,用到了圆的性质,圆与直线的关系以及三角形相似等知识,知识面比较广,要求综合能力比较高．