题目

偶函数f（x）满足f（1-x）=f（1+x），且在x∈[0，1]时，f(x)＝

2x−x2

，若直线kx-y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个交点，则k的取值范圈是（　　）
A. （

15

15

，

3

3

）
B. （

3

5

，

5

3

）
C. （

1

3

，

1

2

）
D. （

1

15

，

1

3

）

提问时间：2020-07-24

答案

由f（1-x）=f（l+x），得到函数关于x=1对称，因为f（x）是偶函数，所以f（1-x）=f（l+x）=f（x-1），即f（x+2）=f（x），所以函数的周期是2．由f(x)＝2x−x2，得（x-1）2+y2=1，（y≥0），作出函数f（x）和直线y=k（...

由f（1-x）=f（l+x），得到函数关于x=1对称，利用函数是偶函数，得到函数的周期，然后利用函数图象确定k的取值范围．

本题考点：根的存在性及根的个数判断；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性．

考点点评：本题主要考查根的存在性及根的个数的判断，利用条件确定函数的周期性和对称性是解决本题的关键，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．