题目

实数a,b使得关于x,y的方程组1)xy-x^2=1 xy^2+ax^2+bx+a=0有实数解,(x,y).求证y的绝对值大于等于2
求a^2+b^2的最小值

提问时间：2020-07-24

答案

1,证明：由xy-x^2=1,得：y=x+1/x,
当x>0时,由基本不等式,得：y=x+1/x>=2*√(x*1/x)=2；
当x0,所以 y=x+1/x=-[(-x)+1/(-x)]=2. （证毕）
2,由xy-x^2=1,得： x^+1=xy,
由xy^2+ax^2+bx+a=0,得：
x(y^2+b)+a(x^2+1)=0,
x(y^2+b)+axy=0,
而易知x不等于0,
所以y^2+ay+b=0,
所以 y1+y2=-a,y1y2=b,
a^2+b^2=(y1+y2)^2+(y1y2)^2=y1^2+y^2+2y1y2+(y1y2)^2,
又因为|y|>=2,所以 |y1|>=2, |y2|>=2,
所以y1^2>=4, y2^2>=4, y1y2^2>=16,
所以a^+b^2>=32