题目

设A是m*n矩阵,B为n×s矩阵,r(A)=r＜n,且AB=0.证明：秩(B)≦n－r
如题,拜托尽量把格式写的标准一点,感激不尽!

提问时间：2020-07-24

答案

证: 将B按列分块为 B=(b1,...,bs)
因为 AB=0
所以 A(b1,...,bs) = (Ab1,...,Abs)=0
所以 Abi=0, i=1,...,s
即 B 的列向量都是齐次线性方程组 AX=0 的解向量
所以B的列向量组可由 AX=0 的基础解系线性表示
而 AX=0 的基础解系含 n-r(A) = n-r 个向量
所以 r(B) <= n-r.