题目

已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称,且f(x)=x^2+2x.
(1)求函数g(x)的解析式
(2) 解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|
(3)若h(x)=g(x)-nf(x)+1在[-1,1]上位增函数,求实数n的取值范围
前两部直接写答案即可,

提问时间：2020-07-23

答案

y=f(x)=x^2+2x
关于原点对称
即x和y都加上负号
所以-y=(-x)^2+2(-x)
所以g(x)=y=-x^2+2x
g(x)>=f(x)-|x-1|
-x^2+2x>=x^2+2x-|x-1|
x>=1,则-x^2+2x>=x^2+2x-x+1
2x^2-x+1<=0,不成立
x<1,则-x^2+2x>=x^2+2x+x-1
2x^2+x-1<=0
(2x-1)(x+1)<=0
-1<=x<1/2,符合x<1
所以-1<=x<1/2
h(x)=-x^2+2x-nx^2-2nx+1=-(n+1)x^2+(2-2n)x+1
若n=-1,则h(x)=-4x+1,符合在[-1,1]上位增函数
n不等于-1,则h(x)是二次函数
若n>-1,则-(n+1)<0,开口向下
所以在对称轴x=(1-n)/(n+1)左边是增函数
所以x=(1-n)/(n+1)在[-1,1]右边
所以(1-n)/(n+1)>=1
n>-1,n+1>0
所以两边乘n+1
1-n>=n+1
n<=0
所以-1若n<-1,则-(n+1)>0,开口向上
所以在对称轴x=(1-n)/(n+1)右边是增函数
所以x=(1-n)/(n+1)在[-1,1]左边
所以(1-n)/(n+1)<=-1
n<-1,n+1<0
所以两边乘n+1
1-n>=-(n+1)=-n-1
1>=-1,成立
所以n<-1
综上n<=0