题目

f(x)=sinx+sin(x√2) 证明是非周期函数

提问时间：2020-07-23

答案

我来用反证法试一下,有点麻烦
假设f(x)是周期函数,周期为T,则有sin(x+T)+sin(x√2+T√2)-sinx-sin(x√2)=0对任何x恒成立
可分别令x=0和x=T,则一定有
sinT+sin(T√2)=0(记为i)且sin(2T)+sin(2T√2)-sinT-sin(T√2)(记为ii)
首先直接接i得T1=2kπ/(√2+1) (k属于Z)
再将i代入ii得sin(2T)+sin(2T√2)=0,用二倍角公式展开,得2sinT(cosT-cos(T√2))=0(记为iii)
直接求解iii得T2=2kπ或T2=2kπ/(√2-1) (k属于Z)
由于T1、T2均为所设周期T的一般情况,则一定会有T1=T2(两个k可以取不同值)
然而,易证T1≠T2 （可以设k1、k2,当T1和T2相等时k1、k2比值为无理数,显然不成立）
则不存在满足要求的T,与题设矛盾
所以f(x)是非周期函数