题目

已知数列{a}的前n项和Sn,通项an满足Sn+an=1/2(n^2+3n-2),求通项公式an
如题,
Sn+an=1/2*(n^2+3n-2).(1)
S(n-1)+a(n-1)=1/2*[(n-1)^2+3(n-1)-2].(2)
(1)-(2):
an+an-a(n-1)=n+1
2an-a(n-1)=n+1
2an-n-1=a(n-1)
即:2(an-n)=a(n-1)-(n-1)
即:(an-n)/[a(n-1)-(n-1)]=1/2
∴{an-n}是公比为1/2的等比数列
令{an-n}={bn}
由题意:
2a1=1/2*(1+3-2)
∴a1=1/2
∴b1=a1-1=-1/2
∴bn=(-1/2)*(1/2)^(n-1)
=-(1/2)^n=an-n
∴an=-(1/2)^n+n,n∈N+
我想问2an-n-1=a(n-1)
到2(an-n)=a(n-1)-(n-1)这一步是怎么配出来的,还是凑出来的?请具体说明,
待定系数法我知道，可是那个求出来X=-(n+1)啊？怎么回事？

提问时间：2020-07-23

答案

2a[n]-n-1=a[n-1] 【1】
待定系数：
2(a[n]+xn+y)=a[n-1]+x(n-1)+y 【2】
将【1】式a[n-1]代入上式：（注意：也可变换后用a[n]代入上式,看方便确定）
2(a[n]+xn+y)=(2a[n]-n-1)+x(n-1)+y
2a[n]+2xn+2y=2a[n]-n-1+xn-x+y
2xn+2y=-n-1+xn-x+y 【a】
比较n的系数：2x=-1+x 【3】
比较常数：2y=-1-x+y 【4】
由【3】、【4】解得：x=-1,y=0
代入【2】式,得：
2(a[n]-n)=a[n-1]-(n-1)
讨论(1)：为什么待定系数时,要设个y?
因为【1】式里有常数项,尽管最后y=0,似乎实际并没有用到.
虽然对于本题y不设也可以解出,但可以看到【4】变为：0=-1-x,
正好和【3】式解出的结果x=-1不矛盾,如果矛盾就必须借助y,
所以为了保险,也为了解法统一,碰到有常数项时,也对应给个待定系数比较好.
讨论(2)：你怎么会求出x=-(n+1)?
根据你的做法,估计没有设y,那么上面的【a】式就变为：
2xn=-n-1+xn-x
这时我们应该比较对应未知量的系数,包括常数项,而不是解关于x的方程,
况且,即使解关于x的方程,也不会得到：x=-(n+1).
为了便于你校对,把不设y的过程简列如下：
∵2a[n]-n-1=a[n-1]
∴2(a[n]+xn)=a[n-1]+x(n-1)
2(a[n]+xn)=(2a[n]-n-1)+x(n-1)
2a[n]+2xn=2a[n]-n-1+xn-x
2xn=-n-1+xn-x
比较n的系数：2x=-1+x
比较常数：0=-1-x
上面两式都解得：x=-1,不矛盾
∴2(a[n]-n)=a[n-1]-(n-1)