题目

求大哥大姐帮帮忙
要使方程(1+m^2)x^2-2m(1+n)x+m^2+n^2=0有整数根.求整数m,n应满足的条件,并求出这两个整数根.

提问时间：2020-07-23

答案

因为：方程(1+m^2)x^2-2m(1+n)x+m^2+n^2=0有整数根
又因为：在方程中,a=(1+m^2),b=-2m(1+n),c=m^2+n^2
所以：判别式△=b^2-4ac=[-2m(1+n)]^2-4(1+m^2)(m^2+n^2)
=4m^2+4m^2n^2+8m^2n-4m^4-4m^2-4m^2n^2-4n^2
=8m^2n-4m^4-4n^2
=-4(m^4+n^2-2m^2n)
=-4(m^2-n)^2
要使方程有实数根,则△必须大于等于0.
又因为：(m^2-n)^2大于等于0,
所以：-4(m^2-n)^2必小于等于0
所以：-4(m^2-n)^2=0 即：(m^2-n)^2=0
所以：m^2-n=0
所以：m^2=n 即：m=正负n
所以：x=-b加减根号下△/2a=2m(n+1)/2(m^2+1)=2m(1+m^2)/2(m^+1)=m
所以：x1=x2=m