题目

抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m） （m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线

x2

a

-y2=1的左顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于 ___ ．

提问时间：2020-07-22

答案

由题意可知：抛物线线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-4
∴p=8
则点M（1，4），双曲线

x2

a

-y2=1的左顶点为A（-

a

，0），
所以直线AM的斜率为k=

4

1+ a

，
由题意可知：

4

1+ a

=

1

a

∴a=

1

9

故答案为：

1

9

由题意可求抛物线线y2=2px的准线，从而可求p，，进而可求M，由双曲线方程可求A，根据双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则由斜率相等可求a

本题考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．

考点点评：本题主要考查了抛物线的性质的应用，双曲线的性质的应用，解题的关键是灵活利用抛物线的定义求出抛物线的准线方程．