题目

已知f（x）=2asin²x-2

2

asinx+a+b的定义域是[0，

π

2

]，值域是[-5，1]，求a、b的值．

提问时间：2020-07-22

答案

令sinx=t，∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[0，1]，
f（x）=g（t）=2at²-2

2

at+a+b
=2a（t-

2

2

）²+b．
当a＞0时，则

b＝−5 a+b＝1

解之得a=6，b=-5．
当a=0，不满足题意；
当a＜0时，则

b＝1 a+b＝−5

解之得a=-6，b=1．
综上：a=6，b=-5．或a=-6，b=1．

令sinx=t，f（x）化为g（t）=2a（t-

2

2

）²+b．通过对a＞0，a=0，a＜0，分别求出a，b的值即可．

本题考点：二次函数的性质；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，考查计算能力，转化思想，换元法，是中档题．