题目

已知抛物线方程为y^2=2px(p>0),直线l:x+y=m过抛物线的焦点F且抛物线截得的弦长为3.
(1)求p的值;
(2)是否存在点M,使过点M的斜率不为零的任意直线与抛物线相交于P、Q两点,并且以PQ为直径的圆恰好过抛物线的顶点?若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.

提问时间：2020-07-22

答案

(1)y=p/2-x代入y^2=2px得x^2-3px+p^2/4=0二根x1,x2,x1+x2=3p,x1+x2+p=4p=3,p=3/4 (2).存在M(3/2,0)PQ⊥x轴时M为PQ中点,POQ等腰直角PQ不⊥x轴时PQ斜率k,PQx=y/k+3/2代入y^2=3x/2得y方程根y1y2y1+y2,y1y2算kOP*kOQ=-1...