题目

已知关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²=0的两根为x1>x2,满足x1²-x2²=0.双曲线
y=4k/x(x>0)经过Rt△OAB.斜边OB的中点与直角边AB交于C（如图）.求S△OBC

提问时间：2020-07-21

答案

首先由一元二次方程根的判别式得出k的取值范围,然后由x12-x22=0得出x1-x2=0或x1+x2=0,再运用一元二次方程根与系数的关系求出k的值,由k的几何意义,可知S△OCA= 12|k|．如果过D作DE⊥OA于E,则S△ODE= 12|k|．易证△ODE∽△OBA,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,得出S△OBA,最后由S△OBC=S△OBA-S△OCA,得出结果．
∵x2+（2k-1）x+k2=0有两根,
∴△=（2k-1）2-4k2≥0,
即 k≤14．
由x12-x22=0得：（x1-x2）（x1+x2）=0．
当x1+x2=0时,-（2k-1）=0,解得 k=12,不合题意,舍去；
当x1-x2=0时,x1=x2,△=（2k-1）2-4k2=0,
解得：k=14符合题意．
∴双曲线的解析式为：y=1x．
过D作DE⊥OA于E,则 S△ODE=S△OCA=12×1=12．
∵DE⊥OA,BA⊥OA,
∴DE∥AB,∴△ODE∽△OBA,
∴ S△OBAS△ODE=(OBOD)2=4,∴ S△OBA=4×12=2,
∴ S△OBC=S△OBA-S△OCA=2-1/2=3/2．