题目

已知圆x²+y²-4x+4y+8-k=0关于直线x-y-2=0对称的圆是圆C，且圆C与直线3x+4y-40=0相切，求实数k的值．

提问时间：2020-07-21

答案

由题意知：（x-2）²+（y+2）²=k，若圆心（2，-2）关于直线x-y-2=0对称的点C为C（a，b）
则

b+2 a−2 ＝−1 a+2 2 − b−2 2 −2＝0

解得 

a＝0 b＝0

…（6分）
∴圆C为：x²+y²=k，
又圆C与直线3x+4y-40=0相切，
∴

|40|

32+42

＝

k

，解得k=64．      …（12分）

先求圆x²+y²-4x+4y+8-k=0关于直线x-y-2=0对称的圆，只需求出圆心关于直线x-y-2=0对称点的坐标，因为圆C与直线3x+4y-40=0相切，再利用圆心到直线的距离等于半径就可求出参数的值．

本题考点：直线与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程．

考点点评：本题的考点是直线与圆的位置关系，主要考查圆关于直线对称圆的求法，考查直线与圆相切，关键是求圆心关于直线的对称点的坐标，利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径求解，计算需要细心．