题目

有n个数,从第二个数开始,每一个数都比它前面相邻的数大3．例如,4,7,10,13,3n＋1,它们相乘的积有32个0,这n的最小值为多少?

提问时间：2020-07-19

答案

每个因数5,与偶数的乘积,会在末尾增加1个0
我们来观察3n的个位数字,分别为：
3,6,9,2,5,8,1,4,7,0.
奇偶各一半,那么,3n+1的奇偶也各是一半,偶数足够多,现在只需要考虑因数5的个数.
分析一下：
n=3时,3n+1=10,含有1个因数5
然后,n=3+5,n=3+5*2...
每5个数,会至少含有1个因数5
这里我说至少,
n=3+5=8时,3n+1=25,25含有2个因数5
然后n=8+5×5=33时,3n+1=100,也含有2个因数5
即n=3以后,每5个含有因数5的数中,有一个至少含有2个因数5
n=3,8,13,18,23,28,33..时
3n+1分别为：
10,25,40,55,70,85,100..
后面的数比前面的大15
15和25的最小公倍数为75
75/15=5
即每5个中,有一个含有2个因数5
15和125的最小公倍数为375
375/15=25
即每25个中,有一个含有3个因数5
..
现在就要找出,一共含有32个因数5,需要多少个数
第25个数为：
10+15*(25-1)=370
到第25个数,一共有：
25+25/5+25/25=31个因数5
下一个数是370+15=385
即当3n+1=385时,就有了32个因数5
此时n=(385-1)/3=128
即n的最小值为128