题目

已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|（x∈R）

（Ⅰ） 证明：函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；
（Ⅲ） 写出函数的值域和单调区间．

提问时间：2020-07-18

答案

（1）∵函数的定义域为R
∴定义域关于原点对称．
∵f（-x）=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f（x）
∴函数f（x）是定义在R上的偶函数．
（2）当 x≤-1时，f（x）=-（x-1）-（x+1）=-2x
当-1＜x＜1时，f（x）=-（x-1）+（x+1）=2
当x≥1时，f（x）=（x-1）+（x+1）=2x
综上函数的解析式为f（x）=

−2x，     x≤−1 2，         −1＜x＜1 2x，       x≥1

函数的图象为

（3）由函数f（x）的图象可知函数的值域为[2，+∞），函数的递减区间为（-∞，-1]，函数的递增区间为[1，+∞）．

（1）根据函数奇偶性的定义证明f（-x）=f（x），即可证明该函数为偶函数；
（2）分x≤-1，-1＜x＜1，x≥1三段写出函数f（x）的解析式，根据解析式作出函数图象；
（3）由图象得出函数的值域及单调区间．

本题考点：函数图象的作法；函数的值域；函数的单调性及单调区间．

考点点评：本题主要考查了偶函数的概念及判断、分段函数的解析式及图象、函数的值域及单调区间．培养了学生分类讨论及数形结合的思想方法及解题能力．