题目

已知不等式x的平方-2ax+2＞0对x属于[-1,2]恒成立,求实数a的取值范围 .
我不太清楚分情况讨论后最后的答案怎么取

提问时间：2020-07-18

答案

x²-2ax+2＞0
令f(x)=x²-2ax+2=（x-a)²-a²+2
则：f(a)=2-a²,f(-1)=3+2a,f(2)=6-4a.对称轴x=a.
若f(x)＞0对于x∈[-1,2]恒成立,
即当x∈[-1,2]时,令fmin＞0即可.
根据对称轴和闭区间[-1,2]的位置关系,进行分类讨论：
①若a≤-1,f(x)在x∈[-1,2]单调递增,即fmin=f(-1)=3+2a＞0,解得,a＞-3/2,即：a∈(-3/2,-1]
②若-1＜a＜2,同理可知,fmin=f(a)=2-a²＞0,解得：-√2＜a＜√2,即：a∈(-1,√2)
③若a≥2,同理可知,fmin=f(2)=6-4a＞0,解得：a＜3/2,不合题意,舍去.
综上所述,a∈(-3/2,√2].