题目

已知a>0,函数f(x)=-2acos(2x+π/6)+2a+b,当x∈(-π/4,π/4)时,-5≤f（x）≤1.（1）求常数a,b的值
（2）设g（x）=f（x+π/4）,且满足lg【g（x）】>0,求g（x）的单调区间.

提问时间：2020-07-18

答案

（1）因为x∈(-π/4,π/4),所以2X+π/6∈(-2π/3,2π/3)
所以得出2acos(2x+π/6)∈(-1/2,1],
a>0,当2acos(2x+π/6)=-1/2时,f（x）max=1=-2a*(-1/2)+2a+b,得出：a+b=1
当2acos(2x+π/6)=1时,f（x）min=-5=-2a*1+2a+b,得出：b=-5
a+b=1,b=-5 ,所以a=6
（2）g（x）=f（x+π/4）=-2*6cos(2（x+π/4）+π/6)+2*6-5=-12cos（2X+2π/3）+7
因为x∈(-π/4,π/4),所以2X+2π/3∈(π/6,7π/6)
g（x）在 （π/6 ,π]上单调递减,在[π,7π/6）上单调递增.
因为考虑要满足lg【g（x）】>0=lg1,根据lgX在定义域范围内是单调递增的,
所以得出：g(x)>1,-12cos（2X+2π/3）+7>1,cos（2X+2π/3）