题目

函数f（x）=2asin²x-2

3

asinxcosx+a+b，x∈[0，

π

2

]，值域为[-5，1]，求a，b的值．

提问时间：2020-07-18

答案

∵函数f（x）=2asin2x-23 asinxcosx+a+b=a（1-cos2x）-3asin2x+a+b=-2asin（2x+π6）+2a+b，又x∈[0，π2]，∴π6≤2x+π6≤7π6，-12≤sin（2x+π6）≤1．当a＞0时，有 3a+b＝1b＝−5，解得 a=2，b=-5．当a＜0时，...

利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为-2asin（2x+

π

6

）+2a+b，根据x∈[0，

π

2

]，求得-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．分a＞0和a＜0两种情况，根据值域为[-5，1]，分别求得a，b的值．

本题考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．