题目

怎么证明"派"是无理数和超越数?
顺便口语地解释一下超越数.不要无关的长篇大论.
...1,2楼一点水平都没有.
4楼好强,不过希望用括号括清楚,看不太明白

提问时间：2020-07-18

答案

个别式子改清楚了些.
超越数就是实数中不能表为代数方程根的那部分.与之相应,代数数是可以表为代数方程的根的数.
在实数中,代数数是可数的,所以超越数是不可数的.
证明Pi是无理数相对容易得多,以前看过的也忘了.下面是从网上找的一则证明：
这个证明属于Ivan Niven.假设pi=a/b,我们定义（对某个n）：
f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n!
F(x) = f(x) + ...+ (-1)^j * f^(2j)(x) + ...+ (-1)^n * f^(2n)(x)
这里f^(2j)是f的2j次导数.
于是f和F有如下性质（都很容易验证）:
1)f(x)是一个整系数多项式除以n!.
2)f(x) = f(Pi - x)
3)f在(0,pi)区间上严格递增,并且x趋于0时f(x)趋于0,
x趋于pi时f(x)趋于pi^n * a^n / n!
4)对于0 = n,f的j次导数在0和pi处是整数（由1)可知）.
6)F(0)和F(pi)是整数（由4),5)可知）.
7)F + F'' = f
8)(F'·sin - F·cos)' = f·sin （由7)可知）.
这样,对f·sin从0到pi进行定积分,就是
(F'(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) - (F'(0)sin(0)-F(0)cos(0))
=F(pi)+F(0)
由6)可知这是个整数.
问题在于如果把n取得很大,由3)可知f·sin从0到pi进行定积分必须严格大于0严格小于1.矛盾,证毕.
Lindemann首先给出了Pi是超越数的证明.我没学过代数数论,要用到The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem.在讲代数数论的书上或许有的；一些讲现代几何学的书在讲化圆为方问题也会有Pi的超越性证明.
——刚才查了一下书,在于秀源的《超越数论基础》中,第四章第2节就证明了e和Pi的超越性.书我可以发你邮件里,发站内信告诉我邮件地址就行了.