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题目
若双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为______.

提问时间:2020-07-18

答案
∵抛物线y2=2bx的焦点F(
b
2
,0),双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>b>0)左、右焦点F1(-c,0),F2(c,0),
又线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5:3两段,
|FF1|
|F2F|
=
5
3
,即
b
2
+c
c-
b
2
=
5
3

∴c=2b;
又c2=a2+b2=4b2
∴a2=3b2
∴此双曲线的离心率e2=
c2
a2
=
4b2
3b2
=
4
3

∴e=
2
3
=
2
3
3

故答案为:
2
3
3
依题意,可求得抛物线y2=2bx的焦点F(
b
2
,0),由
|FF1|
|F2F|
=
5
3
即可求得b,c之间的关系,从而可求得此双曲线的离心率.

双曲线的简单性质.

本题考查双曲线的简单性质,由

|FF1|
|F2F|
=
5
3
即可求得b,c之间的关系是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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