题目

y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x²；
（1）求x<0时，f（x）的解析式；
（2）问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为[

1

b

，

1

a

]若存在，求出所有的a，b值，若不存在，请说明理由．

提问时间：2020-07-18

答案

（1）设x<0，则-x>0于是f（-x）=-2x-x²，-------------------------（2分）
又f（x）为奇函数，所以f（x）=-f（-x）=2x+x²，即f（x）=2x+x²（x<0），---（4分）
（2）分下述三种情况：
①0<a<b≤1，那么

1

a

>1，而当x≥0，f（x）的最大值为1，
故此时不可能使g（x）=f（x），-------------------------（7分）
②若0<a<1<b，此时若g（x）=f（x），
则g（x）的最大值为g（1）=f（1）=1，得a=1，这与0<a<1<b矛盾；--------------（11分）
③若1≤a<b，因为x≥1时，f（x）是减函数，则f（x）=2x-x²，于是有

1 b =g(b)=-b2+2b 1 a =g(a)=-a2+2a

⇔

(a-1)(a2-a+1)=0 (b-1)(b2-b-1)=0

，
考虑到1≤a<b，解得a=1，b=

1+ 5

2

----（15分）
综上所述

a=1 b= 1+ 5 2 .

-----（16分）

（1）令x＜0，则-x＞0，由当x≥0时，f（x）=2x-x²，可得f（-x）的表达式，进而根据f（x）为奇函数，f（x）=-f（-x），可得答案；
（2）分0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b和1≤a＜b三种情况分别讨论，a，b的取值情况，最后综合讨论结果可得答案．

本题考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．

考点点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数解析式的求解及常方法，二次函数的性质，其中利用奇函数的性质，求出函数的解析式，并分析其性质是解答本题的关键．